Blog IT - Đặng Anh Tuấn

Atlat là phương tiện dạy học mà Bộ Giáo dục cho phép sử dụng trong kì thi tốt nghiệp sắp tới. Tuy nhiên, trong cuốn Atlat địa lí Việt Nam do NXBGDVN tái bản ngày 31/3/2010 có ba sai sót cơ bản. Vì vậy, biểu đồ trên ở mốc năm 1990 cần phải đưa cơ cấu của khu vực kinh tế CN – XD (22,7) và DV (38,6) đặt tại trục tung.

Atlat xuất bản năm 2011 có một số sai sót cơ bản (Ảnh minh họa)

Ở trang 10, Biểu đồ tròn trong atlat thể hiện “tỉ lệ diện tích lưu vực các hệ thống sông” thể hiện sai. Bởi lẽ, biểu đồ tròn có trục gốc tương ứng với mũi giờ số 12 và thể hiện theo thứ tự chiều kim đồng hồ.

Tuy nhiên, ở biểu đồ “tỉ lệ diện tích lưu vực các hệ thống sông” trong atlat không thể hiện theo quy trình của biểu đồ tròn.

Vì vậy, học sinh không nên vẽ theo biểu đồ trên. Nên dựa vào biểu đồ tròn trong atlat trang 21 (Biểu đồ cơ cấu giá trị sản xuất công nghiệp của cả nước phân theo nhóm ngành), và một số dạng biểu đồ tròn khác trong atlat.

Biểu đồ “dân số Việt Nam qua các năm” trang 15, đây là biểu đồ cột thể hiện dân số Việt Nam từ năm 1960 – 2007 (đơn vị: triệu người), cụ thể là thể hiện dân số thành thị và nông thôn, nhưng lại thể hiện sai nguyên tắc cơ bản của một biểu đồ cột.

Bởi lẽ, biểu đồ cột bao giờ cũng có 2 trục thể hiện hai đại lượng khác nhau đó là trục tung và trục hoành. Ở biểu đồ trên trục tung thể hiện dân số (đơn vị: triệu người), trục hoành thể hiện các năm.

Tuy nhiên, biểu đồ đã không thể hiện đầy đủ các yếu tố cần của một biểu đồ, nên khi vẽ dạng biểu đồ cột không nên dựa vào biểu đồ trên. Một số biểu đồ cột khác trong atlat cũng thiếu các yếu tố trên: trang 21; 20.

Biểu đồ miền thể hiện “cơ cấu GDP phân theo khu vực kinh tế (giai đoạn 1990 – 2007) trong atlat trang 17, thể hiện không hoàn toàn chính xác.

Nếu xem biểu đồ miền trên, rất dễ dàng để thấy ở trục tung năm 1990 khi thể hiện cơ cấu GDP của các khu vực kinh tế đã nhích xa trục tung một đoạn khá xa, thể hiện như vậy không hoàn toàn chính xác, vì ở biểu đồ miền thì hai trục tung là 2 mốc năm (năm đầu:1990 và năm cuối:2007).

Vì vậy, biểu đồ trên ở mốc năm 1990 cần phải đưa cơ cấu của khu vực kinh tế CN – XD (22,7) và DV (38,6) đặt tại trục tung.

Các sai sót trên có thể làm ảnh hưởng đến kết quả không mong muốn của chúng ta, vì vậy cần hết sức lưu ý để tránh nhầm lẫn.

Tô Văn Quy – Trường THPT Lê Thành Phương (Phú Yên)

Trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học-Cao đẳng thường xuất hiện các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số. Bài viết này bắt đầu cho loạt bài về các dạng bài tập liên quan đến cực trị hàm số. Trước tiên, ta sẽ xét hai dạng bài tập sau:
Dạng 1. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đạt cực trị tại $x=x_0$ .
Cách giải.
Bước 1 (ĐK cần). Giả sử hàm số đạt cực trị tại $x_0\Rightarrow f'(x_0)=0$ , tìm được $m$ .
Bước 2 (ĐK đủ). Với từng giá trị $m$ tìm được, thử lại xem $x_0$ có đúng là điểm cực trị theo yêu cầu không.
Chú ý.
1) Có thể dùng Qui tắc 1 hoặc 2 để kiểm tra lại đk đủ ở bước 2.
2) Một số lời giải sai lầm là dùng trực tiếp Qui tắc 2 để giải bài toán trên, chẳng hạn hàm số đạt cực tiểu tại $x=x_0$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l} f'(x_0)=0 \\ f''(x_0)>0 \\ \end{array}\right.$ là lời giải sai. Chẳng hạn, hàm $y=x^4$ đạt cực tiểu tại $x=0$ , nhưng $f'(0)=f''(0)=0$ . (Trong kỳ thi TN THPT vừa qua có rất nhiều bạn mắc sai lầm này!).
Ví dụ 1. Cho hàm số $y=x^3-3mx^2+3(m^2-1)x-(m^2-1)$ . Tìm $m$ để hàm số đạt cực đại tại $x=1$ .
Lời giải.
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$y'=3x^2-6mx+3(m^2-1)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$
ĐK cần: HS đạt cực đại tại $x=0\Rightarrow y'(0)=0\Leftrightarrow 3m^2-6m=0\Leftrightarrow m=0;m=2$
ĐK đủ: Với $m=0\Rightarrow y'=3x^2-3; y''=6x\Rightarrow y''(1)=6>0\Rightarrow$ HS đạt cực tiểu tại $x=1\Rightarrow m=0$ loại
Với $m=2\Rightarrow y'=3x^2-12x+9\Rightarrow y''=6x-12\Rightarrow y''(1)=-6<0\Rightarrow$ HS đạt cực đại tại $x=1$ .
KL: $m=2$ .
Ví dụ 2. Xác định $m$ để hàm số $y=\dfrac{x^2+mx+1}{x+m}$ đạt cực đại tại $x=2$ .
Lời giải.
TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{-m\}$
$y'=\dfrac{x^2+2mx+m^2-1}{(x+m)^2}$ xác định với mọi $x\neq -m$
ĐK cần: Hàm số đạt cực đại tại $x=2\Rightarrow y'(2)=0\Leftrightarrow m^2+4m+3=0\Leftrightarrow m=-1;m=-3$
ĐK đủ: Với $m=-1, y'=\dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}$

Từ BBT suy ra hàm số đạt cực đại tại $x=0$ , đạt cực tiểu tại $x=2$ . Do đó $m=-1$ không là giá trị cần tìm
Với $m=-3; y'=\dfrac{x^2-6x+8}{(x-3)^2}$

Từ BBT suy ra hàm số đạt cực đại tại $x=2$
Kết luận: $m=-3$
Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị và thỏa mãn một vài điều kiện.
Cơ sở lý thuyết:
1) Cực trị hàm bậc 3: $y=ax^3+bx^2+cx+d, (a\neq 0)$ .
Hàm số có cực trị (hoặc 2 cực trị) khi và chỉ khi $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt. Khi đó hoành độ hai điểm cực trị là nghiệm của phương trình $y'=0$ .
2) Cực trị hàm bậc 4: $y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e, (a\neq 0)$ .
Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi $y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt.
Nếu viết được $y'=(x=x_0)P(x)$ với $P(x)$ là tam thức bậc 2. Khi đó hàm số có 1 điểm cực trị khi và chỉ khi $P(x_0)=0$ hoặc $\Delta_{P(x)}\leq 0$ .
3) Cực trị của hàm phân thức: $y=\dfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}$
HS có cực trị (hoặc 2 cực trị) khi và chỉ khi $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt. Khi đó hoành độ các điểm cực trị là nghiệm phương trình $y'=0$ .
Chú ý: Với bài toán yêu cầu cụ thể điểm nào là cực đại, điểm nào là cực tiểu thì cần lập BBT để xác định điểm cực trị.
Với bài toán có vai trò của điểm cực đại, cực tiểu như nhau thì ta thường dùng Định lý Viet
Ví dụ 3. Tìm $m$ để hàm số $y=\dfrac{1}{3}x^3+(m+3)x^2+4(m+3)x+m^2-m$ đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thỏa mãn $-1<x_1<x_2$ .
Lời giải.
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$y'=x^2+2(m+3)x+4(m+3)$ , xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$
Đặt $t=x+1\Rightarrow x=t-1$
Hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thỏa mãn $-1<x_1<x_2$ khi và chỉ khi $y'=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $-1<x_1<x_2$ . Thay $x=t-1$ vào PT $y'=0$ thì điều này tương đương với phương trình $t^2+2(m+2)t+2m+10=0$ có hai nghiệm $t_1,t_2$ thỏa mãn $0<t_1<t_2$ . Tương đương với $\left\{\begin{array}{l} \Delta'=m^2+2m-6>0 \\ P=2m+10>0 \\ S=-2(m+2)>0 \\ \end{array}\right.$
$\Leftrightarrow -5<m<1-\sqrt{7}$
Kết luận: $\Leftrightarrow -5<m<1-\sqrt{7}$
Ví dụ 4. Cho hàm số $y=2x^3-3(m+2)x^2+6(5m+1)x-(4m^3+2)$
Tìm $m$ để hàm số có đúng một điểm cực trị lớn hơn 1.
Lời giải.
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$y'=6x^2-6(m+2)x+6(5m+1)$ , xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$
Hàm số có đúng một điểm cực trị lớn hơn 1 khi và chỉ khi $y'=0$ có nghiệm thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: $x_1<1<x_2$ hoặc $1=x_1<x_2$
Đặt $t=x-1\Rightarrow x=t+1$
Thế vào PT $y'=0$ ta có $g(t)=t^2-mt+4m=0$
TH1: $x_1<1<x_2\Leftrightarrow t_1<0<t_2\Leftrightarrow P=4m<0\Leftrightarrow m<0$
TH2: $1=x_1<x_2\Leftrightarrow 0=t_1<t_2$ . Thay $t=0$ vào PT suy ra $m=0$ . Khi đó $g(t)=0\Leftrightarrow t^2=0\Leftrightarrow t=0$ . Do đó $m=0$ không phải giá trị cần tìm.
Kết luận: $m<0$
Nhận xét:
1) Lời giải Ví dụ 3, Ví dụ 4 đều đưa bài toán về dạng so sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai với một số thực khác 0. Với loại bài toán này, ta thường đặt ẩn phụ để đưa về bài toán cơ bản đã học ở lớp 10 là so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số 0. Cụ thể, cho tam thức bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c$ . Khi đó:
+) $f(x)=0$ có hai nghiệm $x_1<0<x_2\Leftrightarrow P=\dfrac{c}{a}<0$
+) $f(x)=0$ có hai nghiệm $x_1<x_2<0\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \Delta>0 \\ P=\dfrac{c}{a}>0 \\ S=\dfrac{-b}{a}<0 \\ \end{array}\right.$
+) $f(x)=0$ có hai nghiệm $0<x_1<x_2\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \Delta>0 \\ P=\dfrac{c}{a}>0 \\ S=\dfrac{-b}{a}>0 \\ \end{array}\right.$
2) Trong Ví dụ 4, cần chú ý xét trường hợp $1=x_1<x_2$ . Nếu không cẩn thận, các bạn rất có thể quên mất trường hợp này.
3) Cũng liên quan đến Áp dụng định lý Viet, bài toán có thể yêu cầu tính toán liên quan đến các biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm của một tam thức bậc 2. Một cơ sở lý thuyết để giải loại bài tập này là mọi biểu thức đối xứng đối với hai nghiệm $x_1,x_2$ của tam thức đều có thể biểu diễn theo hai biểu thức đối xứng cơ bản là $S=x_1+x_2, P=x_1x_2$ . Để hiểu rõ hơn vấn đề này, chúng ta làm một số ví dụ sau.
Ví dụ 5. Tìm $m$ để hàm số $y=\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+mx-1$ đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thỏa mãn $|x_1-x_2|\geq 8$ .
Lời giải.
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$y'=x^2-2mx+m$ , xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$
Hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2\Leftrightarrow \Delta'=m^2-m>0\Leftrightarrow m>1$ hoặc $m<0$ .
Theo Định lí Viet, ta có $x_1+x_2=2m, x_1x_2=m$
Do đó $|x_1-x_2|\geq 8\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2\geq 64$
$\Leftrightarrow 4m^2-4m-64\geq 0\Leftrightarrow m\geq \dfrac{1+\sqrt{65}}{2}$ hoặc $m\leq \dfrac{1-\sqrt{65}}{2}$
Kết luận: $m\geq \dfrac{1+\sqrt{65}}{2}$ hoặc $m\leq \dfrac{1-\sqrt{65}}{2}$ \\
Ví dụ 6. Cho hàm số $y=\dfrac{2}{3}x^3+(m+1)x^2+(m^2+4m+3)x$ . Tìm $m$ để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại $x_1, x_2$ . Tìm GTLN của biểu thức $A=|x_1x_2-2(x_1+x_2)|$ .
Lời giải.
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$y'=2x^2+2(m+1)x+m^2+4m+3$
Hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2\Leftrightarrow \Delta'=-m^2-6m-5>0\Leftrightarrow -5<m<-1$ .
Khi đó, theo Định lý Viet, ta có $x_1+x_2=-m-1, x_1x_2=\dfrac{1}{2}(m^2+4m+3)$
$A=|\dfrac{1}{2}(m^2+4m+3)-2(-m-1)|=\dfrac{1}{2}|m^2+8m+7|$ .
Bài toán trở thành tìm GTLN của $A=|\dfrac{1}{2}|m^2+8m+7|$ trên $(-5;-1)$
Trên $(-5;-1)$ , ta có $A=\dfrac{1}{2}(-m^2-8m-7)=\dfrac{1}{2}(-(m+4)^2+9)\leq \dfrac{9}{2}$ .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=-4\in (-5;-1)$ .
Kết luận: $-5<m<-1$ và $\max A=\dfrac{9}{2}$
Bài tâp.
Bài 1. Cho hàm số $y=x^3+2(m-1)x^2+(m^2-4m+1)x-2(m^2+1)$ . Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thỏa mãn $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}(x_1+x_2)$ .
Bài 2. Tìm $m$ để hàm số $y=\dfrac{1}{3}x^3+(m-2)x^2+(5m+4)x+m^2+1$ đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1<-1<x_2$ .

Blog IT - Đặng Anh Tuấn

Thứ bảy, ngày 21 tháng tư năm 2012

Ba sai sót về biểu đồ trong Atlat địa lí

Thứ sáu, ngày 20 tháng tư năm 2012

Một số dạng toán về cực trị của hàm số

Giới thiệu bản thân

Lưu trữ Blog